Temperatura de equilíbrio planetário no SDCTI GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕES E DIMENS. FENOM.

{T}_{eq}={T}_{\bigodot }{\left(1-a\right)}^{1/4}{\sqrt {\frac {{R}_{\bigodot }}{2D}}}

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A temperatura de equilíbrio não é nem um limite superior ou inferior de temperaturas reais em um planeta. Por causa do efeito estufa, planetas com atmosferas terão temperaturas mais altas do que a temperatura de equilíbrio. Por exemplo, Vénus tem uma temperatura de equilíbrio de 260 K, mas uma temperatura de superfície de 740 K.^[4] A Lua tem uma temperatura de corpo negro de 271 K,^[5] mas pode ter temperaturas de 373 K durante o dia e 100 K à noite.^[6] Isto é devido à rotação relativamente lenta da Lua em relação ao seu tamanho, de modo que toda a superfície não se aquecer uniformemente. Corpos em orbitam também podem ser aquecidos pelo calor das marés,^[7] energia geotérmica, que é conduzida por decaimento radioativo no núcleo do planeta,^[8] ou aquecimento substantivo.^[9]

Derivação detalhada da temperatura de equilíbrio planetário[editar | editar código-fonte]

{P}_{in}={P}_{out}

A energia absorvida pelo planeta a partir da estrela é igual à energia emitida pelo planeta.

{P}_{in}={L}_{\bigodot }\left(1-a\right)\left({\frac {\pi {{R}_{p}}^{2}}{4\pi {D}^{2}}}\right)

^[4] A entrada de energia para o planeta é igual à

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

luminosidade (ou seja, energia emitida) da estrela, vezes a proporção absorvida pelo planeta (1 menos o albedo), vezes a área do planeta iluminada pela estrela, dividida pela área da esfera que toda a radiação da estrela é lançada sobre a distância do planeta.

P=\sigma A{T}^{4}

Qualquer energia de entrada de um corpo negro é irradiada na forma de calor de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann, onde P é a energia de entrada, σ é a constante de Stefan-Boltzmann, A é a área de superfície do corpo negro, e T é a temperatura de equilíbrio.

{L}_{\bigodot }=\left(\sigma {{T}_{\bigodot }}^{4}\right)\left(4\pi {{R}_{\bigodot }}^{2}\right)

A luminosidade da estrela é igual a constante de Stefan-Boltzmann, vezes a área da estrela, vezes a quarta energia da temperatura da estrela.

{P}_{out}=\left(\sigma {{T}_{eq}}^{4}\right)\left(4\pi {{R}_{p}}^{2}\right)

A energia emitida pelo planeta.

Reorganizando, pode-se mostrar que:

{T}_{eq}={T}_{\bigodot }{\left(1-a\right)}^{1/4}{\sqrt {\frac {{R}_{\bigodot }}{2D}}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

É interessante notar que a temperatura de equilíbrio não depende do tamanho do planeta, pois tanto a radiação de entrada e de saída dependem da área do planeta.

Em dinâmica dos fluidos, a temperatura de película ou temperatura de filme (T_f, do inglês film temperature), algumas vezes chamada temperatura de superfície, é a temperatura de um fluido em uma superfície interna de um aquecedor. Para aquecedores a chama, T_f é normalmente medido dentro do tubo na parede, mas para aquecedores elétricos de imersão, é medido na superfície do elemento aquecedor.

A temperatura de película é a média aritmética da temperatura de parede (T_W) e a temperatura de corrente livre (T_∞). Matematicamente, isto pode ser expresso como:

T_{\text{f}}={\frac {T_{\text{W}}+T_{\mathrm {\infty } }}{2}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

\beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{kT}}

onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura. A temperatura inversa é mais fundamental que a temperatura. A temperatura inversa é usada em muitas equações incluindo a

Energia de translação e gases ideais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Gás ideal

A energia cinética (newtoniana ou clássica) de uma partícula de massa m e velocidade v é dada pela expressão:

H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde v_x, v_y e v_z são as componentes cartesianas da velocidade v. H é o hamiltoniano, e portanto será utilizado como símbolo da energia dado que a mecânica de Hamilton desempenha um papel destacado na forma mais geral do teorema da equipartição.

Como a energia cinética é quadrática nos componentes da velocidade, por equipartição destas três componentes, cada uma contribui com ½k_BT para a energia cinética média em equilíbrio térmico. Portanto, a energia cinética da partícula é (3/2)k_BT, como no caso do exemplo dos gases nobres discutido previamente.

De forma mais geral, num gás ideal, a energia total consiste exclusivamente de energia cinética de translação: já que se assume que as partículas não possuem graus internos de liberdade e se movem de forma independente umas das outras. A equipartição portanto prediz que a energia total média de um gás ideal com N partículas é (3/2) N k_BT.

Portanto, a capacidade térmica de um gás é (3/2) N k_B e a capacidade térmica de um mol de partículas de dito gás é (3/2)N_Ak_B=(3/2)R, onde N_A é o número de Avogadro e R é a constante universal dos gases perfeitos. Como R ≈ 2 cal/(mol·K), a equipartição prediz que a capacidade térmica molar de um gás ideal é aproximadamente 3 cal/(mol·K). Esta predição foi confirmada experimentalmente^[3].

A energia cinética média também permite calcular a raiz da velocidade quadrática média v_rms das partículas de gás, como:

v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde M = N_Am é a massa de um mol de partículas de gás. Este resultado é muito útil para aplicações tais como a Lei de Graham de efusão, da qual se deriva um método para enriquecer Urânio.^[4]

Energia rotacional e agitação molecular em solução[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Velocidade angular e Difusão rotacional

Um exemplo similar é o do caso de uma molécula que roda e cujos momentos de inercia principais são I₁, I₂ e I₃. A energia rotacional de dita molécula é dada por:

H^{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde ω₁, ω₂, e ω₃ são os componentes da velocidade angular. Seguindo um raciocínio similar ao utilizado no caso da translacção, a equipartição implica que, em equilíbrio térmico, a energia média de rotação de cada partícula é (3/2)k_BT. De forma similar, o teorema da equipartição permite calcular a velocidade angular média (mais precisamente, a raiz média quadrática) das moléculas.^[5]

A rotação das moléculas rígidas — ou seja, as rotações aleatórias de moléculas em solução — joga um papel de destaque nas relaxações observadas por meio de ressonância magnética nuclear, particularmente por ressonância magnética nuclear de proteínas e por acoplamento dipolar residual.^[6] A difusão rotacional pode também ser observada mediante outras técnicas biofísicas tais como a anisotropia fluorescente, a birrefringência de fluxo e a espectroscopia dieléctrica.^[7]

Energia potencial e osciladores harmónicos[editar | editar código-fonte]

A equipartição aplica-se tanto à energia potencial com à energia cinética. Exemplo importante disto são os osciladores harmónicos tais como as molas, que possuem una energia potencial quadrática:

H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},\,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde a constante a descreve a rigidez da mola e q é o desvio em relação ao equilíbrio. Se dito sistema unidimensional possui uma massa m, então a sua energia cinética H^kin é ½mv² = p²/2m, com v e p = mv a velocidade e o momento do oscilador, respectivamente. Combinando estes termos obtém-se a energia total^[8]:

H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}aq^{2}.

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Deste modo, a equipartição implica que, em equilíbrio térmico, o oscilador possui uma energia média:

\langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B}T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde os colchetes angulares

\left\langle \ldots \right\rangle

representam a média da quantidade contida entre eles,^[9].

Este resultado é válido para todo o tipo de osciladores harmónicos, como por exemplo num pêndulo, numa molécula que vibra ou num oscilador electrónico passivo. Existem numerosos sistemas que contêm este tipo de osciladores; mediante a equipartição, cada um destes osciladores recebe uma energia média total k_BT e portanto contribui k_B para a capacidade térmica do sistema. Esta última relação pode ser usada para obter a fórmula para o ruído de Johnson–Nyquist ou "ruído térmico"^[10] e a Lei de Dulong-Petit para a capacidade térmica molar dos sólidos. Esta última aplicação foi especialmente relevante na história da equipartição.

Temperatura de equilíbrio planetário no SDCTI GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕES E DIMENS. FENOM.

quarta-feira, 18 de setembro de 2019

Modelo Teórico[editar | editar código-fonte]

Derivação detalhada da temperatura de equilíbrio planetário[editar | editar código-fonte]

Energia de translação e gases ideais[editar | editar código-fonte]

Energia rotacional e agitação molecular em solução[editar | editar código-fonte]

Energia potencial e osciladores harmónicos[editar | editar código-fonte]